Định nghĩa: X {\displaystyle X} là liên thông địa phương nếu và chỉ nếu với mọi x {\displaystyle x} trong X {\displaystyle X} và mọi Lân cận U {\displaystyle U} của x {\displaystyle x} thì có một lân cận liên thông V {\displaystyle V} của x {\displaystyle x} sao V ⊂ U {\displaystyle V\subset U} .

1. Mỗi khoảng và tia trong đường thẳng thực thì liên thông địa phương.
2. Không gian con [ − 1 , 0 ) ∪ ( 0 , 1 ] {\displaystyle \left[-1,0\right)\cup \left(0,1\right]} của R {\displaystyle R} thì không liên thông nhưng nó liên thông địa phương.
3. Với n {\displaystyle n} là số nguyên dương,Không gian Euclide R n {\displaystyle R^{n}} là liên thông và liên thông địa phương.
4. Topologist's sine curve là không gian con của mặt phẳng Eclide thì liên thông nhưng không liên thông địa phương.
5. Tập hợp các Số hữu tỉ Q {\displaystyle Q} với topo Eclide thì không liên thông địa phương.

• Định lý: X {\displaystyle X} là liên thông địa phương nếu và chỉ nếu với mọi tập U {\displaystyle U} mở trong X {\displaystyle X} ,mà mỗi thành phần liên thông của U {\displaystyle U} là mở trong X {\displaystyle X} .

• Hệ quả: Nếu X {\displaystyle X} là liên thông địa phương thì mỗi thành phần liên thông của X {\displaystyle X} là mở.

• Định lý: Mọi tập con mở của không gian liên thông địa phương thì liên thông địa phương.

Định nghĩa: (Liên thông địa phương yếu) Không gian X {\displaystyle X} là liên thông địa phương yếu nếu mọi lân cận U {\displaystyle U} của x {\displaystyle x} có một không gian con liên thông của X {\displaystyle X} chứa trong U {\displaystyle U} và chứa x {\displaystyle x} .